CIRCUITOS ELECTRICOS UCACUE: diciembre 2011

Asociación en serie

Dos o más resistencias se encuentran conectadas en serie cuando al aplicar al conjunto una diferencia de potencial, todas ellas son recorridas por la misma corriente.

Para determinar la resistencia equivalente de una asociación serie imaginaremos que ambas, están conectadas a la misma diferencia de potencial, U_AB. Si aplicamos la segunda ley de Kirchhoff a la asociación en serie tendremos:

$U_{AB} = U_1 + U_2 +...+ U_n \,$

Aplicando la ley de Ohm:

$U_{AB} = IR_1 + IR_2 +...+ IR_n = I(R_1 + R_2 +...+ R_n) \,$

En la resistencia equivalente:

$U_{AB} = IR_{AB} \,$

Finalmente, igualando ambas ecuaciones se obtiene que:

$IR_{AB} = I(R_1 + R_2 +...+ R_n) \,$

Y eliminando la intensidad:

$R_{AB} = R_1 + R_2 +...+ R_n = \sum_{k=1}^n R_k$

Por lo tanto, la resistencia equivalente a n resistencias montadas en serie es igual a la sumatoria de dichas resistencias.

Asociación en paralelo

Dos o más resistencias se encuentran en paralelo cuando tienen dos terminales comunes de modo que al aplicar al conjunto una diferencia de potencial, U_AB, todas las resistencias tienen la misma caída de tensión, U_AB.

Para determinar la resistencia equivalente de una asociación en paralelo imaginaremos que ambas, están conectadas a la misma diferencia de potencial mencionada, U_AB, lo que originará una misma demanda de corriente eléctrica, I. Esta corriente se repartirá en la asociación por cada una de sus resistencias de acuerdo con la primera ley de Kirchhoff:

${I} = {I_1} + {I_2} + ... + {I_n} \,$

Aplicando la ley de Ohm:

${I} = {U_{AB} \over R_1} + {U_{AB} \over R_2} + ... + {U_{AB} \over R_n} = U_{AB}\left({1 \over R_1} + {1 \over R_2} + ... + {1 \over R_n}\right) \,$

En la resistencia equivalente se cumple:

$I=U_{AB}/R_{AB} \,$

Igualando ambas ecuaciones y eliminando la tensión U_AB:

${1 \over R_{AB}} = {1 \over R_1} + {1 \over R_2} + ... + {1 \over R_n}$

De donde:

$R_{AB} = {1 \over \sum_{k=1}^n {1 \over R_k} }$

Por lo que la resistencia equivalente de una asociación en paralelo es igual a la inversa de la suma de las inversas de cada una de las resistencias.

Existen dos casos particulares que suelen darse en una asociación en paralelo:

1. Dos resistencias: en este caso se puede comprobar que la resistencia equivalente es igual al producto dividido por la suma de sus valores, esto es:

$R_{AB} = {R_1R_2 \over R_1 + R_2} \,$

2. k resistencias iguales: su equivalente resulta ser:

$R_{AB} = {R \over k} \,$

Asociación mixta

A veces una asociación mixta es necesaria ponerla en modo texto. Para ello se utilizan los símbolos "+" y "//" para designar las asociaciones serie y paralelo respectivamente. Así con (R1 + R2) se indica que R1 y R2 están en serie mientras que con (R1//R2) que están en paralelo. De acuerdo con ello, las asociaciones se pondrían del siguiente modo:En una asociación mixta podemos encontrarnos conjuntos de resistencias en serie con conjuntos de resistencias en paralelo. Pueden observarse tres ejemplos de asociaciones mixtas con cuatro resistencias.

a) (R1//R2)+(R3//R4)

b) (R1+R3)//(R2+R4)

c) ((R1+R2)//R3)+R4

Para determinar la resistencia equivalente de una asociación mixta se van simplificando las resistencias que están en serie y las que están en paralelo de modo que el conjunto vaya resultando cada vez más sencillo, hasta terminar con un conjunto en serie o en paralelo.

R1//R2 = R_1//2

R3//R4 = R_3//4

R_AB = R_1//2 + R_3//4

R1+R3 = R₁₊₃

R2+R4 = R₂₊₄

R_AB = R₁₊₃//R₂₊₄

R1+R2 = R₁₊₂

R₁₊₂//R3 = R_1+2//3

R_AB = R_1+2//3 + R4

Desarrollando se obtiene:

$R_{AB}={R1 \cdot R2 \over R1+R2}+{R3 \cdot R4 \over R3+R4}$

$R_{AB}={(R1+R3) \cdot (R2+R4) \over (R1+R3)+(R2+R4)}$

$R_{AB}={(R1+R2) \cdot R3 \over (R1+R2)+R3} + R4$

Asociaciones estrella y triángulo

Figura 6.
a) Asociación en estrella.
b) Asociación en triángulo.

Pueden observarse respectivamente las asociaciones estrella y triángulo, también llamadas

T

π

o delta respectivamente. Este tipo de asociaciones son comunes en las cargas trifásicas. Las ecuaciones de equivalencia entre ambas asociaciones vienen dadas por el teorema de Kennelly:

Resistencias en estrella en función de las resistencias en triángulo (transformación de triángulo a estrella)

El valor de cada una de las resistencias en estrella es igual al cociente del producto de las dos resistencias en triángulo adyacentes al mismo terminal entre la suma de las tres resistencias en triángulo.

$RA = {R1 \cdot R3 \over {R1 + R2 + R3}} \,$

$RB = {R1 \cdot R2 \over {R1 + R2 + R3}} \,$

$RC = {R2 \cdot R3 \over {R1 + R2 + R3}} \,$

Resistencias en triángulo en función de las resistencias en estrella (transformación de estrella a triángulo)

El valor de cada una de las resistencias en triángulo es igual la suma de las dos resistencias en estrella adyacentes a los mismos terminales más el cociente del producto de esas dos resistencias entre la otra resistencia.

$R1 = {RA + RB + {RA \cdot RB \over {RC}}} \,$